引言

这是博弈论当中一个非常经典的游戏，由耶鲁大学经济学家马丁·舒比克(Martin Schubik)于1971年提出。游戏的规则是一群参与者拍卖一张普通的面值1美元的钞票，每次的加价幅度都为5美分的倍数，其条件是出价最高者和出价次高者都必须支付各自的最高出价，出价最高者获得拍品而出价次高者则什么也得不到。

例如A出价40美分，而B出价50美分，此时由B以50美分的价格买下这件拍品，而A必须支付40美分却什么也得不到。

引言

红眼睛悖论最早出自华人数学家陶哲轩(Terence Tao)设计的一个巧妙的思维实验：

• 某岛上有100个聪明人；
• 这100个人中，有95个人拥有红色的眼睛，5个人拥有蓝色的眼睛；
• 每个人可以观察别人眼睛的颜色，但是禁止照镜子观察自己眼睛的颜色；
• 禁止互相讨论或告知别人对方眼睛的颜色；
• 如果一个人知道了自己的眼睛是红色的，则他必须在第二天公开自杀。

在故事开始时，有一个外来者登上岛屿后，通过公开宣布告知了岛上所有人：「这个岛上有红眼睛的人。」5天后，这5个拥有红眼睛的人不约而同地公开自杀了。

以上就是这则思维实验的全部内容。

椭圆积分是数论和代数几何中一个十分重要的范畴，近代的模形式理论更是涉及了许多对椭圆积分的性质的研究。在研究过程中，一些学者注意到，椭圆积分在某些特殊点处的函数值可以通过Gamma函数解析地表达出来，这些值统称为椭圆积分奇异值(Singular Values of Elliptical Integral)，是代数数论的一个重要课题。

而在狭义上，椭圆积分奇异值则是指满足下式的值$K(k_n)$和$K’(k_n)$：

在本文中，我将采用初等方法计算前几个椭圆积分奇异值，这主要是通过利用积分换元法将椭圆积分变成Beta函数来实现的。

引子

对于一般的单变量定积分，常用的求解方法是利用换元积分法和分部积分法找到被积函数的原函数，然后再按照牛顿-莱布尼茨公式计算定积分的值。然而，对于一些特殊的定积分，被积函数的原函数并不一定是初等的，此时牛顿-莱布尼茨公式就不再奏效了，若要计算这类定积分的值，我们就需要借助一些其他的技巧，费曼积分法(Feynman’s Trick)就是一个十分重要的解法。

简单地说，费曼积分法的基本思路是在被积函数中引入一个新的参变量，使得原本的定积分成为该参变量的一个函数，再注意到：

从而我们可以通过对新的含参积分进行积分号下求导，得到该含参积分的导数，再通过求原函数的方法确定含参积分的解析式，最后代入特定的参数值求出原定积分的值。

引子

在美国，买卖资产如果赚钱了要交税，也就是常说的资本利得税(Capital Gains Tax, CGT)。资本利得税在美国是一种十分重要的税种，你所买卖的资产，不管是邮票，还是汽车；不管是房产，还是股票，只要通过买卖某宗资产赚钱了，就需要缴纳资本利得税。

本文基于以下两个例子，讨论一种利用留数定理计算有理函数反常积分的方法：

容易证明上面两个积分都是良定义且收敛的，下面我将利用留数定理计算它们。

今晚在无意间发现并解决了一个很有意思且颇有难度的定积分题目，事情的起因源于笔者对如下这个简单的定积分的改良：

这个积分可以通过区间再现公式的一个推论解决，即如下一般性的结论：

引子

本系列收录笔者在日常中遇到的一些比较有意思的数学题目，它们一般是一些难度较高或比较巧妙的积分或级数。

在数学分析中，所谓莱布尼茨级数(也被称为交错级数, Alternating Series)一般是指所有项的符号为正负交替出现的一类级数。本文将以下面的级数为例，讨论一类分母为一次多项式的莱布尼茨级数的解析解求法。

引子

德州扑克自20世纪初起源以来，一直在美国本土保持着低密度流行的状态。一直以来，德州扑克主要流行于美国的上流社会，而且是一些较为聪明的商人才擅长的博弈游戏，这部分的群体主要是一些贸易商和投机交易商，当然也包括那些常年混迹于金融市场的交易员。

概率是德州扑克游戏过程中最重要的概念之一，也是在进行决策时考虑的首要因素。对于新手而言，这些概率将大大有助于其感受德州扑克的数学本质。

1. 超强牌占比，所谓超强牌是指牌力在JJ+和AKo/AKs以上的手牌组合，这些手牌组合在所有手牌组合中的占比约为2.1%。如果一个紧手玩家只选择用这些手牌入池游戏，那么长期而言，他将由于盲注而损失大量的筹码。

2. 翻牌圈的同花听牌，在河牌击中同花的概率约为34%，即大约每三次击中一次。这说明在翻牌圈同花听牌是一种较强的听牌，即使和对手进行全下跑马也有大约三分之一的胜率。

3. 同花牌与非同花牌的权益相差约5%。这一概率意味着对于非口袋对的手牌组合，面对同一手牌在翻牌前全下跑马，同花色的胜率比不同花色的胜率高约5%，这一胜率的差值主要来自于击中同花。但是，在实际上同花色手牌却比不同花色的手牌要强得多，因为它们在翻牌后具有较好的可游戏性，例如可以在拿到同花听牌或后门同花听牌时通过攻击对手的弃牌范围实现权益。

4. 两张高牌，在翻牌圈击中一对的概率约为32.43%。这意味着拿任意两张手牌入池，平均每三次只有一次能在翻牌圈击中一对，且在大多数时候并不清楚自己是否领先而无法获取到大的价值，例如在拿到底对、中对或顶对弱踢脚时。

   阅读全文 »