引子

todesk、向日葵、anydesk等是大家在日常办公过程中常用的远程软件，在方便大家远程协作办公的同时，也带来一定的安全隐患。利用软件漏洞或泄露密码，攻击者可以直接使用这类绕过操作系统和安全软件的防护，达到直接远程软件直接操作目标主机的目的。

若这类情况发生在主机无人值守期间，使用者往往可能对已经发生的入侵行为浑然不知，造成更严重的后果和损失。为此，分析远程软件运行日志是避免和挽回损失的关键。

本文以todesk为例，通过查找关键语句分析todesk的软件运行日志，使用者可以简单明了地了解到当前设备的控制和被控记录。

$$\begin{align*} I_1 & = \int_0^\infty \frac{1-\cos x}{x(1-e^x)} dx = \frac{1}{2}\log\left(\frac{\pi}{\sinh\pi}\right) \\ I_2 & = \int_0^\infty \frac{1 - \cos x}{x(1+e^x)} dx = \frac{1}{2}\log\left(\frac{\pi}{2}\coth\frac{\pi}{2}\right) \end{align*}$$

引言

自古以来，山、医、命、相、卜合称五术，是中国传统文化的重要组成部分之一，在《庄子·杂篇·天下》中，被认为是“无所不在”。命理学即为五术中的“命”，指通过数理推衍的方式来测算命运，趋吉避凶的一类道术。在中华文明漫长的发展历程中，曾涌现过多种算命术，其中又以八字算命术和紫微斗数最广为人知。在本系列文章中，笔者将以历史渊源、发展历程、哲学基础、排盘方式、案例分析等方式，系统地梳理此二者的诸多方面，供自己和他人查阅方便。由于笔者才识尚浅，行文过程中难免有所疏漏，如能得到心读者的拨冗斧正，笔者将不胜感激。

引言

这是博弈论当中一个非常经典的游戏，由耶鲁大学经济学家马丁·舒比克(Martin Schubik)于1971年提出。游戏的规则是一群参与者拍卖一张普通的面值1美元的钞票，每次的加价幅度都为5美分的倍数，其条件是出价最高者和出价次高者都必须支付各自的最高出价，出价最高者获得拍品而出价次高者则什么也得不到。

例如A出价40美分，而B出价50美分，此时由B以50美分的价格买下这件拍品，而A必须支付40美分却什么也得不到。

引言

红眼睛悖论最早出自华人数学家陶哲轩(Terence Tao)设计的一个巧妙的思维实验：

• 某岛上有100个聪明人；
• 这100个人中，有95个人拥有红色的眼睛，5个人拥有蓝色的眼睛；
• 每个人可以观察别人眼睛的颜色，但是禁止照镜子观察自己眼睛的颜色；
• 禁止互相讨论或告知别人对方眼睛的颜色；
• 如果一个人知道了自己的眼睛是红色的，则他必须在第二天公开自杀。

在故事开始时，有一个外来者登上岛屿后，通过公开宣布告知了岛上所有人：「这个岛上有红眼睛的人。」5天后，这5个拥有红眼睛的人不约而同地公开自杀了。

以上就是这则思维实验的全部内容。

椭圆积分是数论和代数几何中一个十分重要的范畴，近代的模形式理论更是涉及了许多对椭圆积分的性质的研究。在研究过程中，一些学者注意到，椭圆积分在某些特殊点处的函数值可以通过Gamma函数解析地表达出来，这些值统称为椭圆积分奇异值(Singular Values of Elliptical Integral)，是代数数论的一个重要课题。

而在狭义上，椭圆积分奇异值则是指满足下式的值$K(k_n)$和$K’(k_n)$：

$$K(k_n) = \sqrt{n}K'(k_n), n\in\mathbb{Z}^+$$

在本文中，我将采用初等方法计算前几个椭圆积分奇异值，这主要是通过利用积分换元法将椭圆积分变成Beta函数来实现的。

引子

对于一般的单变量定积分，常用的求解方法是利用换元积分法和分部积分法找到被积函数的原函数，然后再按照牛顿-莱布尼茨公式计算定积分的值。然而，对于一些特殊的定积分，被积函数的原函数并不一定是初等的，此时牛顿-莱布尼茨公式就不再奏效了，若要计算这类定积分的值，我们就需要借助一些其他的技巧，费曼积分法(Feynman’s Trick)就是一个十分重要的解法。

简单地说，费曼积分法的基本思路是在被积函数中引入一个新的参变量，使得原本的定积分成为该参变量的一个函数，再注意到：

$$\frac{d}{dt} \int_a^b f(x,t) dx = \int_a^b \frac{\partial f(x,t)}{\partial t} dx$$

从而我们可以通过对新的含参积分进行积分号下求导，得到该含参积分的导数，再通过求原函数的方法确定含参积分的解析式，最后代入特定的参数值求出原定积分的值。

引子

在美国，买卖资产如果赚钱了要交税，也就是常说的资本利得税(Capital Gains Tax, CGT)。资本利得税在美国是一种十分重要的税种，你所买卖的资产，不管是邮票，还是汽车；不管是房产，还是股票，只要通过买卖某宗资产赚钱了，就需要缴纳资本利得税。

本文基于以下两个例子，讨论一种利用留数定理计算有理函数反常积分的方法：

$$I_1 = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x^4 + x^3 + x^2 + x + 1} dx$$ $$I_2 = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^4 + x^3 + x^2 + x + 1} dx$$

容易证明上面两个积分都是良定义且收敛的，下面我将利用留数定理计算它们。

今晚在无意间发现并解决了一个很有意思且颇有难度的定积分题目，事情的起因源于笔者对如下这个简单的定积分的改良：

$$\int_{0}^{\pi} \frac{x\sin x}{1+\cos^2 x} dx$$

这个积分可以通过区间再现公式的一个推论解决，即如下一般性的结论：

$$\int_{0}^{\pi} xf(\sin x) dx = \frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi} f(\sin x) dx$$