理论模型

$$dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dB_t$$ $$S_t = S_0 \exp\left(\left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right) t + \sigma B_t\right)$$ $$d_1 = \frac{\log\left(\frac{S_t}{K}\right) + \left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}$$ $$d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T-t}$$ $$C(S,t) = S_t \Phi (d_1) – Ke^{-r(T-t)} \Phi (d_2)$$ $$P(S,t) = Ke^{-r(T-t)} \Phi (-d_2) – S_t \Phi (-d_1)$$

引子

对传染病传播规律的研究有着十分悠久的历史，一般认为最早该学科最早始创于1760年数学家丹尼尔·伯努利(Daniel Bernoulli)的一项对接种预防天花的研究，他最早基于概率论提出了第一个具有微分方程数学形式的数学模型，用来定量分析天花接种后的预期效果，论证了全民接种将显著提高人均寿命的观点，奠定了传染病动力学的学科基础。

第二个在该领域作出标志性贡献的人是英国医生罗纳德·罗斯(Ronald Ross)，在他的一项关于疟疾传播规律的研究中，提出了人-蚊双宿主模型，这是传染病动力学中的第一个媒介传播模型，他本人也因为揭露了疟疾传播的核心规律而斩获了1902年的诺贝尔医学奖。

随后，两位英国数学家威廉(William Ogilvy Kermack)和安德森(Anderson Gray McKendrick)在他们合署的一篇论文A Contribution to the Mathematical Theory of Epidemics中，开创性地提出了SIR模型(Susceptible-Infected-Recovered Model)，这是传染病动力学中一个十分经典的数学模型，迄今为止仍被广泛使用。

引子

理论上说，人自发地进行生产消费等经济活动，市场就会像有一双看不见的手，自动平衡好供需关系。然而，如果仔细看看这个世界，一边是空置的高楼，一边却是流离无所的人；一边是堆积如山的商品，另一边却是空空如也的口袋，这显然是完全悖于常识的。

在传统的经济学理论中，市场被认为具有强大的自我调节机制，供需关系在暗处通过影响价格来实现市场的自我调控，从而优化资源配置，从而引导经济向着好的方向发展。可即便如此，我们却眼见经济无法一直增长，每隔一段时间总会周期性地爆发经济危机，企业破产、大量失业、市场萎缩的现象周而复始，像个逃不出的轮回，绑架着所有人的命运。

那么，供需平衡是如何被打破的，经济危机又是如何发生的呢？

随着美国经济的日益繁荣，华尔街上的股票交易商也越来越多。在19世纪20年代末，纽约股票交易所的日交易量经常跌到每日100股以下。但到了30年代的中期，平均每日拍卖的股票数量就飙升到5000股以上，在1835年6月26日这一天，纽约股票交易所更是创下了7825股的单日交易量记录。值得一提的是，当时的股票交易并不是像今天这样的连续报价，而是一天仅有两次的拍卖，这就类似于今天的集合竞价，会员们坐在各自桌边的座位上——这也被称为交易商席位，等待交易所总裁或主持人举行每天两次的拍卖，总裁或主持人会依次叫出每一种证券的名字，由各个交易商进行竞价交易。1836年，在所有挂牌交易的股票中，包括38家银行、32家保险公司、4家铁路公司、4家运河公司以及3家天然气公司的股票——煤气灯当时正迅速普及到全美各地。

大部分的股票交易还发生在场外，这是由于当时交易所理事会对会员的苛刻要求将许多人排斥在外，更多的人往往在投票时被刷掉。这些人都靠证券经纪过活，至少在行情好的时候是这样的。股票交易的节奏和价格几乎是由交易所理事会来决定，而街头交易多在下午，那时候，交易所的拍卖已经结束，价格已经决定。非会员证券经纪人通常挤在交易所门口，争取在第一时间获取到最新的价格行情和市场信息。

简介

在桥牌游戏中，叫牌是一个十分重要的核心环节，是双方通过约定符号和术语竞争制定定约的过程。在叫牌过程中，玩家通常的目的是达成对己方有利的最佳定约，这既包括在己方拿到强牌时使得分最高，也包括在己方拿到弱牌时使对手得分最低。

阻击叫(Preemptive Bid)，是玩家在拿到点力较弱、但拥有某个长套、具有一定做庄实力的牌时，可以采用的一种叫牌策略，其目的在于限制对手的叫牌空间，阻止对方在叫牌阶段充分交换信息，达成高阶定约。如果按叫牌目的进行分类，阻击叫显然属于后者。

引子

在分析学中，分部积分法是一种十分重要的核心工具，利用分部积分法我们可以方便地求解某些两个函数乘积的积分。这种方法的核心思想是通过将原积分转化为另一个更易计算的积分，从而简化求解过程。

一元函数的分部积分法具有如下形式：

$$\int udv = uv - \int vdu$$

在形式上，我们可以很容易地从乘积的求导法则推导出它，即对下式两端积分：

$$(uv)' = u'v + v'u$$

即可得到：

$$uv = \int vdu + \int udv$$

在二元函数的积分中，我们也有类似的方法，其核心思想与一元函数的分部积分类似，但由于二元函数具有多个变量和对应的偏导数，因此在处理这样的两个函数乘积的积分时，需结合格林公式或高斯公式将区域积分转换为边界积分。

引子

蔡琴老师的《渡口》是一首融合流行与民谣风格的经典之作，由席慕蓉作词、杨弦作曲、江建民编曲，最初被收录于蔡琴1986年的专辑《情锁》中。而《渡口》于1996年被重新编曲后又被收录于专辑《民歌蔡琴》中，这是该首歌曲当前最流行的版本。歌词上，席慕蓉以诗人独有的细腻笔触，将离别时的不舍与祝福娓娓道来，如「让我与你握别，再轻轻抽出我的手，知道思念从此生根」等句子，生动且富有画面感。杨弦的作曲赋予歌曲悠远绵长的旋律，与歌词相得益彰，江建民的编曲则采用不喧宾夺主的节拍设计，营造出最深的河流静静流淌般的听觉效果。

在情感表达与意境营造方面，歌曲紧扣离别主题，通过「渡口旁找不到一朵相送的花，就把祝福别在襟上吧」等歌词，构建出既伤感又充满祝福的意境。蔡琴那沉稳如大提琴的嗓音，与歌曲风格完美契合，将离别时的惆怅、思念以及对未来的祝福等复杂情感，演绎得淋漓尽致，让听众仿佛置身于那个充满故事的渡口。

凭借独特的嗓音和深情的演绎，蔡琴的《渡口》在华语乐坛占据经典地位，不仅在华语地区广为流传，还收获了国际音乐爱好者的喜爱。其旋律和歌词所具有的普世性，成功跨越语言和文化的界限，触动了无数人的心弦。

而作为一首1996年的老歌，《渡口》为什么祇今仍蝉联在各个音乐软件的热播榜单呢？它的经典性和传唱度固然是一个不可忽略的原因。在另一方面，这也是由于《渡口》常年被音响设备爱好者作为测音神曲，因此人们常常在更换设备或测试设备时反复播放《渡口》进行测音或煲机。

引言

为什么资本回报率长期高于经济增长率？这几乎是当下所有经济学都无法回避的一个客观问题，它不是统计学的巧合使然，而是一个经济系统的运行逻辑中客观存在的一种结构性特征。很多人下意识地认为，只要社会经济持续发展，大家的收入都会水涨船高，资本家赚得多没关系，劳动者也能分到足够多的蛋糕。

蛋糕确实在变大，这一点是毋庸置疑的。但是属于资本家的那一部分的增长速度，总要快过属于劳动者的那一部分。于是，社会财富在经济发展的过程中，分布会越来越走向集中。无论劳动者如何努力，他们的收入增长永远都无法跟上资本增长的步伐。

引言

概率打法是桥牌实战过程中最迷人的打法之一，而飞牌(Finesse)又是其中最重要的技巧之一。在桥牌实战过程中，所谓飞牌，是指在对手拥有某门花色中的高张(通常是J, Q, K或A)时，用低张巧妙越过对手高张并取得赢墩的技巧。

具体地说，当对手拥有某门花色中的高张，而庄家希望通过飞牌取得额外赢墩时，此时需要从明手或暗手中拥有该高张的另一家开始，打出一张该花色的低张，并假设该花色的高牌位于下家手中。

引子

这是该系列的第二篇文章，在本文中，将简要地阐述衍生品定价的离散模型，其中最简单的是两期模型，并以此为基础，引入风险中性世界和风险中性概率等概念，它们是金融工程中十分重要的一些概念。

离散模型

离散模型(Discrete Model)是金融工程中一类重要的数学模型。有别于连续模型(Continuous Model)，在离散模型中，资产的价格在几个离散的数值之间取值，时间也不是连续变化的，我们只考虑资产的价格在相邻的两个时间节点的始末状态的变化，而不涉及中间的变化过程。