引言

概率打法是桥牌实战过程中最迷人的打法之一，而飞牌(Finesse)又是其中最重要的技巧之一。在桥牌实战过程中，所谓飞牌，是指在对手拥有某门花色中的高张(通常是Jack, Queen, King或Ace)时，用低张巧妙越过对手高张并取得赢墩的技巧。

具体地说，当对手拥有某门花色中的高张，而庄家希望通过飞牌取得额外赢墩时，此时需要从明手或暗手中拥有该高张的另一家开始，打出一张该花色的低张，并假设该花色的高牌位于下家手中。

引子

这是该系列的第二篇文章，在本文中，将简要地阐述衍生品定价的离散模型，其中最简单的是两期模型，并以此为基础，引入风险中性世界和风险中性概率等概念，它们是金融工程中十分重要的一些概念。

离散模型

离散模型(Discrete Model)是金融工程中一类重要的数学模型。有别于连续模型(Continuous Model)，在离散模型中，资产的价格在几个离散的数值之间取值，时间也不是连续变化的，我们只考虑资产的价格在相邻的两个时间节点的始末状态的变化，而不涉及中间的变化过程。

引子

本系列文章记录我在金融工程(Financial Engineering)的学习心得，内容涵盖远期合约、期权等金融衍生品的定价模型。本文为该系列的引论，将简单介绍现代金融学中利息的计算方式、资产定价的基本原理、远期合约和期权的合约形式，并推导期权平价公式。

引子

假设某银行有许多储户，他们账户上的存款余额不等。如果这些储户来自于一个财富水平随机且服从均匀分布的大样本，则从他们存款余额的所有数据中随机选取一个，该数据以数$1$为首位的概率是多少？

面对这个问题，大部分人可能会不假思索地回答$1/9$，因为这些数据来自于一个随即且均匀的样本，那么从$1$到$9$，以这些数为首位的概率是相等的，为$1/9$。

但事实上，大量从真实数据集观察到的结果却与这一看似理所当然的推测大相径庭，以数$1$为首位的数据出现的频率要比其他数字大得多，这一比例甚至超过了30%，而以数$9$为首位的数据出现的频率则只有5%不到。

这表明，自然数数据集首位数字出现概率的真实分布其实并不如我们想当然的那样。在数学中，这一现象有一个专门的名称——它被人们称为本福特定律(Benford’s Law)。

引子

todesk、向日葵、anydesk等是大家在日常办公过程中常用的远程软件，在方便大家远程协作办公的同时，也带来一定的安全隐患。利用软件漏洞或泄露密码，攻击者可以直接使用这类绕过操作系统和安全软件的防护，达到直接远程软件直接操作目标主机的目的。

若这类情况发生在主机无人值守期间，使用者往往可能对已经发生的入侵行为浑然不知，造成更严重的后果和损失。为此，分析远程软件运行日志是避免和挽回损失的关键。

本文以todesk为例，通过查找关键语句分析todesk的软件运行日志，使用者可以简单明了地了解到当前设备的控制和被控记录。

$$\begin{align*} I_1 & = \int_0^\infty \frac{1-\cos x}{x(1-e^x)} dx = \frac{1}{2}\log\left(\frac{\pi}{\sinh\pi}\right) \\ I_2 & = \int_0^\infty \frac{1 - \cos x}{x(1+e^x)} dx = \frac{1}{2}\log\left(\frac{\pi}{2}\coth\frac{\pi}{2}\right) \end{align*}$$

引言

自古以来，山、医、命、相、卜合称五术，是中国传统文化的重要组成部分之一，在《庄子·杂篇·天下》中，被认为是“无所不在”。命理学即为五术中的“命”，指通过数理推衍的方式来测算命运，趋吉避凶的一类道术。在中华文明漫长的发展历程中，曾涌现过多种算命术，其中又以八字算命术和紫微斗数最广为人知。在本系列文章中，笔者将以历史渊源、发展历程、哲学基础、排盘方式、案例分析等方式，系统地梳理此二者的诸多方面，供自己和他人查阅方便。由于笔者才识尚浅，行文过程中难免有所疏漏，如能得到心读者的拨冗斧正，笔者将不胜感激。

引言

这是博弈论当中一个非常经典的游戏，由耶鲁大学经济学家马丁·舒比克(Martin Schubik)于1971年提出。游戏的规则是一群参与者拍卖一张普通的面值1美元的钞票，每次的加价幅度都为5美分的倍数，其条件是出价最高者和出价次高者都必须支付各自的最高出价，出价最高者获得拍品而出价次高者则什么也得不到。

例如A出价40美分，而B出价50美分，此时由B以50美分的价格买下这件拍品，而A必须支付40美分却什么也得不到。

引言

红眼睛悖论最早出自华人数学家陶哲轩(Terence Tao)设计的一个巧妙的思维实验：

• 某岛上有100个聪明人；
• 这100个人中，有95个人拥有红色的眼睛，5个人拥有蓝色的眼睛；
• 每个人可以观察别人眼睛的颜色，但是禁止照镜子观察自己眼睛的颜色；
• 禁止互相讨论或告知别人对方眼睛的颜色；
• 如果一个人知道了自己的眼睛是红色的，则他必须在第二天公开自杀。

在故事开始时，有一个外来者登上岛屿后，通过公开宣布告知了岛上所有人：「这个岛上有红眼睛的人。」5天后，这5个拥有红眼睛的人不约而同地公开自杀了。

以上就是这则思维实验的全部内容。

椭圆积分是数论和代数几何中一个十分重要的范畴，近代的模形式理论更是涉及了许多对椭圆积分的性质的研究。在研究过程中，一些学者注意到，椭圆积分在某些特殊点处的函数值可以通过Gamma函数解析地表达出来，这些值统称为椭圆积分奇异值(Singular Values of Elliptical Integral)，是代数数论的一个重要课题。

而在狭义上，椭圆积分奇异值则是指满足下式的值$K(k_n)$和$K’(k_n)$：

$$K(k_n) = \sqrt{n}K'(k_n), n\in\mathbb{Z}^+$$

在本文中，我将采用初等方法计算前几个椭圆积分奇异值，这主要是通过利用积分换元法将椭圆积分变成Beta函数来实现的。