引子

在分析学中，分部积分法是一种十分重要的核心工具，利用分部积分法我们可以方便地求解某些两个函数乘积的积分。这种方法的核心思想是通过将原积分转化为另一个更易计算的积分，从而简化求解过程。

一元函数的分部积分法具有如下形式：

$$\int udv = uv - \int vdu$$

在形式上，我们可以很容易地从乘积的求导法则推导出它，即对下式两端积分：

$$(uv)' = u'v + v'u$$

即可得到：

$$uv = \int vdu + \int udv$$

在二元函数的积分中，我们也有类似的方法，其核心思想与一元函数的分部积分类似，但由于二元函数具有多个变量和对应的偏导数，因此在处理这样的两个函数乘积的积分时，需结合格林公式或高斯公式将区域积分转换为边界积分。

引子

蔡琴老师的《渡口》是一首融合流行与民谣风格的经典之作，由席慕蓉作词、杨弦作曲、江建民编曲，最初被收录于蔡琴1986年的专辑《情锁》中。而《渡口》于1996年被重新编曲后又被收录于专辑《民歌蔡琴》中，这是该首歌曲当前最流行的版本。歌词上，席慕蓉以诗人独有的细腻笔触，将离别时的不舍与祝福娓娓道来，如「让我与你握别，再轻轻抽出我的手，知道思念从此生根」等句子，生动且富有画面感。杨弦的作曲赋予歌曲悠远绵长的旋律，与歌词相得益彰，江建民的编曲则采用不喧宾夺主的节拍设计，营造出最深的河流静静流淌般的听觉效果。

在情感表达与意境营造方面，歌曲紧扣离别主题，通过「渡口旁找不到一朵相送的花，就把祝福别在襟上吧」等歌词，构建出既伤感又充满祝福的意境。蔡琴那沉稳如大提琴的嗓音，与歌曲风格完美契合，将离别时的惆怅、思念以及对未来的祝福等复杂情感，演绎得淋漓尽致，让听众仿佛置身于那个充满故事的渡口。

凭借独特的嗓音和深情的演绎，蔡琴的《渡口》在华语乐坛占据经典地位，不仅在华语地区广为流传，还收获了国际音乐爱好者的喜爱。其旋律和歌词所具有的普世性，成功跨越语言和文化的界限，触动了无数人的心弦。

而作为一首1996年的老歌，《渡口》为什么祇今仍蝉联在各个音乐软件的热播榜单呢？它的经典性和传唱度固然是一个不可忽略的原因。在另一方面，这也是由于《渡口》常年被音响设备爱好者作为测音神曲，因此人们常常在更换设备或测试设备时反复播放《渡口》进行测音或煲机。

引言

为什么资本回报率长期高于经济增长率？这几乎是当下所有经济学都无法回避的一个客观问题，它不是统计学的巧合使然，而是一个经济系统的运行逻辑中客观存在的一种结构性特征。很多人下意识地认为，只要社会经济持续发展，大家的收入都会水涨船高，资本家赚得多没关系，劳动者也能分到足够多的蛋糕。

蛋糕确实在变大，这一点是毋庸置疑的。但是属于资本家的那一部分的增长速度，总要快过属于劳动者的那一部分。于是，社会财富在经济发展的过程中，分布会越来越走向集中。无论劳动者如何努力，他们的收入增长永远都无法跟上资本增长的步伐。

引言

概率打法是桥牌实战过程中最迷人的打法之一，而飞牌(Finesse)又是其中最重要的技巧之一。在桥牌实战过程中，所谓飞牌，是指在对手拥有某门花色中的高张(通常是J, Q, K或A)时，用低张巧妙越过对手高张并取得赢墩的技巧。

具体地说，当对手拥有某门花色中的高张，而庄家希望通过飞牌取得额外赢墩时，此时需要从明手或暗手中拥有该高张的另一家开始，打出一张该花色的低张，并假设该花色的高牌位于下家手中。

引子

这是该系列的第二篇文章，在本文中，将简要地阐述衍生品定价的离散模型，其中最简单的是两期模型，并以此为基础，引入风险中性世界和风险中性概率等概念，它们是金融工程中十分重要的一些概念。

离散模型

离散模型(Discrete Model)是金融工程中一类重要的数学模型。有别于连续模型(Continuous Model)，在离散模型中，资产的价格在几个离散的数值之间取值，时间也不是连续变化的，我们只考虑资产的价格在相邻的两个时间节点的始末状态的变化，而不涉及中间的变化过程。

引子

本系列文章记录我在金融工程(Financial Engineering)的学习心得，内容涵盖远期合约、期权等金融衍生品的定价模型。本文为该系列的引论，将简单介绍现代金融学中利息的计算方式、资产定价的基本原理、远期合约和期权的合约形式，并推导期权平价公式。

引子

假设某银行有许多储户，他们账户上的存款余额不等。如果这些储户来自于一个财富水平随机且服从均匀分布的大样本，则从他们存款余额的所有数据中随机选取一个，该数据以数$1$为首位的概率是多少？

面对这个问题，大部分人可能会不假思索地回答$1/9$，因为这些数据来自于一个随即且均匀的样本，那么从$1$到$9$，以这些数为首位的概率是相等的，为$1/9$。

但事实上，大量从真实数据集观察到的结果却与这一看似理所当然的推测大相径庭，以数$1$为首位的数据出现的频率要比其他数字大得多，这一比例甚至超过了30%，而以数$9$为首位的数据出现的频率则只有5%不到。

这表明，自然数数据集首位数字出现概率的真实分布其实并不如我们想当然的那样。在数学中，这一现象有一个专门的名称——它被人们称为本福特定律(Benford’s Law)。

引子

todesk、向日葵、anydesk等是大家在日常办公过程中常用的远程软件，在方便大家远程协作办公的同时，也带来一定的安全隐患。利用软件漏洞或泄露密码，攻击者可以直接使用这类绕过操作系统和安全软件的防护，达到直接远程软件直接操作目标主机的目的。

若这类情况发生在主机无人值守期间，使用者往往可能对已经发生的入侵行为浑然不知，造成更严重的后果和损失。为此，分析远程软件运行日志是避免和挽回损失的关键。

本文以todesk为例，通过查找关键语句分析todesk的软件运行日志，使用者可以简单明了地了解到当前设备的控制和被控记录。

$$\begin{align*} I_1 & = \int_0^\infty \frac{1-\cos x}{x(1-e^x)} dx = \frac{1}{2}\log\left(\frac{\pi}{\sinh\pi}\right) \\ I_2 & = \int_0^\infty \frac{1 - \cos x}{x(1+e^x)} dx = \frac{1}{2}\log\left(\frac{\pi}{2}\coth\frac{\pi}{2}\right) \end{align*}$$

引言

自古以来，山、医、命、相、卜合称五术，是中国传统文化的重要组成部分之一，在《庄子·杂篇·天下》中，被认为是“无所不在”。命理学即为五术中的“命”，指通过数理推衍的方式来测算命运，趋吉避凶的一类道术。在中华文明漫长的发展历程中，曾涌现过多种算命术，其中又以八字算命术和紫微斗数最广为人知。在本系列文章中，笔者将以历史渊源、发展历程、哲学基础、排盘方式、案例分析等方式，系统地梳理此二者的诸多方面，供自己和他人查阅方便。由于笔者才识尚浅，行文过程中难免有所疏漏，如能得到心读者的拨冗斧正，笔者将不胜感激。