引子

在分析学中，分部积分法是一种十分重要的核心工具，利用分部积分法我们可以方便地求解某些两个函数乘积的积分。这种方法的核心思想是通过将原积分转化为另一个更易计算的积分，从而简化求解过程。

一元函数的分部积分法具有如下形式：

$\int udv = uv - \int vdu$

在形式上，我们可以很容易地从乘积的求导法则推导出它，即对下式两端积分：

$(uv)' = u'v + v'u$

即可得到：

$uv = \int vdu + \int udv$

在二元函数的积分中，我们也有类似的方法，其核心思想与一元函数的分部积分类似，但由于二元函数具有多个变量和对应的偏导数，因此在处理这样的两个函数乘积的积分时，需结合格林公式或高斯公式将区域积分转换为边界积分。

阐述

我们首先不加证明地给出二元函数分部积分法的具体形式。

$\iint_{\Omega} u\frac{\partial v}{\partial x} dxdy = \oint_{\partial\Omega} uv dy - \iint_{\Omega} v\frac{\partial u}{\partial x} dxdy$ $\iint_{\Omega} u\frac{\partial v}{\partial y} dxdy = -\oint_{\partial\Omega} uv dx - \iint_{\Omega} v\frac{\partial u}{\partial y} dxdy$

推导过程

回顾格林公式：

$\iint_{\Omega} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dxdy = \oint_{\partial\Omega} (Pdx + Qdy)$

其中：
$\Omega$为某一平面区域；
$\partial\Omega$为区域$\Omega$的边界；
$P(x,y)$和$Q(x,y)$是区域$\Omega$上的可微函数。

在上式中，分别令$P=0, Q=uv$可得：

$\iint_{\Omega} \frac{\partial (uv)}{\partial x} dxdy = \iint_{\Omega} \left(u\frac{\partial v}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial x}\right) dxdy = \oint_{\partial\Omega} uvdy$

这就是二元函数对$x$的分部积分公式。同理，如果在格林公式中，分别令$P=-uv, Q=0$即可得到二元函数对$y$的分部积分公式。

注意事项

与一元函数不同的是，由于二元函数具有两个变量上的偏导数，且平面上的闭合路径及其法向量具有方向性。因此，在应用分部积分法求二元函数的积分时，需注意各个项的符号。