金融工程（二）：衍生品定价的离散模型（上）

引子

这是该系列的第二篇文章，在本文中，将简要地阐述衍生品定价的离散模型，其中最简单的是两期模型，并以此为基础，引入风险中性世界和风险中性概率等概念，它们是金融工程中十分重要的一些概念。

离散模型

离散模型(Discrete Model)是金融工程中一类重要的数学模型。有别于连续模型(Continuous Model)，在离散模型中，资产的价格在几个离散的数值之间取值，时间也不是连续变化的，我们只考虑资产的价格在相邻的两个时间节点的始末状态的变化，而不涉及中间的变化过程。

两期模型

离散模型中最简单的是两期模型(Two-period Model)，即$T=0,1$，时间间隔为$\Delta t$。

我们以$ S{k,t} $表示标的资产$ S_k $在$t$时间的价格，并以$ S_0 $表示无风险资产，并约定$ S{0,0} = 1, S_{0,1} = e^{r\Delta t} $。

在模型中，除了无风险资产，有且仅有一个标的资产$S_1$，它在相邻的两个时间节点之间只有两种状态，即以一定的比率上涨或下跌。

因此，模型的样本空间为$\Omega = { U,D }$，分别代表标的资产的上涨或下跌两个可能事件。

概率测度$\mathbb{P}$满足$P(U) = p, P(D) = 1-p, 0 \leq p \leq 1$。即标的资产有$p$概率在$t=1$时间上涨到$S_1 (U)$，有$1-p$概率下跌到$S_1 (D)$；而无风险资产无论在何种情况下都是$e^{r\Delta t}$。

对此，我们定义风险资产收益率为$\displaystyle R = \frac{pS_1 (U) + (1-p)S_1 (D)}{S_0} - 1$，无风险资产收益率为$R_0 = e^{r\Delta t} - 1$。

在模型的上述假设下，一个投资组合(Portfolio)$\pi = (\pi_0, \pi_1)$是指在无风险资产和标的资产上的持仓，由于允许卖空且无限可分，$\pi\in\mathbb{R}^2$。对于一个投资组合$\pi$来说，它的价值为：

$$\begin{equation} X^{\pi} = S_0 \pi_0 + S_1 \pi_1 \end{equation}$$

$\hat{Z}$表示$X$的现值，例如$\hat{S}{1,1} (U) = S{1,1} (U) e^{r\Delta t}$

对于一个投资组合$\pi$，该投资组合在任意期的价值可以由(1)给出。

为了简化模型，我们引入所谓的指示函数(Indicator Function)：

$$\mathbf{1}_{\{A\}} = \left \{ \begin{align*} & 1 \text{ if condition } A \text{ holds}\\ & 0 \text{ otherwise} \end{align*} \right.$$

于是：

$$X_1^{\pi} = \pi_0 S_{0,1} + \pi_1 (\mathbf{1}_{\{U\}} S_{1,1} (U) + \mathbf{1}_{\{D\}} S_{1,1} (D))$$

在无套利定价理论中，我们所说的一个套利机会是一个自融资策略$\pi$，满足三个条件：

1. $X_0^{\pi} = 0$

2. $\mathbb{P} (\hat{X}_1^{\pi} \geq 0) = 1$

3. $\mathbb{P} (\hat{X}_1^{\pi} > 0) > 0$

无套利定价

我们希望利用无套利定价，对上述模型中标的资产$S_1$的一个两期衍生品进行定价。在本节中，我们假设$H$为衍生品的支付(Payoff)。即在状态$U$下，衍生品产生一个现金流$H(U)$；在状态$D$下，衍生品产生一个现金流$H(D)$。

根据一价定律，我们需要找到一个投资组合$\pi$，使得该投资组合在$t=1$期各状态下的支付与该衍生品完全相同，则衍生品的价格即为该投资组合的价格。即我们需要找到满足以下条件的投资组合$\pi$：

$$\left \{ \begin{align*} & X_1^{\pi} (U) = H(U) \\ & X_1^{\pi} (D) = H(D) \end{align*} \right.$$

代入可得如下关于$\pi_0, \pi_1$的二元一次方程组：

$$\left \{ \begin{align*} & \pi_0 S_{0,1} + \pi_1 S_{1,1} (U) = H(U) \\ & \pi_0 S_{0,1} + \pi_1 S_{1,1} (D) = H(D) \end{align*} \right.$$

只要$S{1,1} (U) \neq S{1,1} (D)$，上述方程组中的两个方程就不可能线性相关，在这种情况下，我们可以得出该方程组的解：

$$\left \{ \begin{align*} & \pi_0^* = \frac{H(D)S_{1,1} (U) – H(U)S_{1,1} (D)}{S_{0,1} (S_{1,1} (U) – S_{1,1} (D))} \\ & \pi_1^* = \frac{H(U) – H(D)}{S_{1,1} (U) – S_{1,1} (D)} \end{align*} \right.$$

观察上述结果，我们可以发现一个重要的事实，即该衍生品的定价与概率测度$\mathbb{P}$无关，这个结果乍一看令人感觉很是不可思议，考虑两种比较极端的情况，难道上涨概率为$p=99%$的标的资产，与上涨概率为$p’=1%$的标的资产，它们的衍生品价格是相同的吗？

要回答这个问题，要回到无套利定价的核心上来。无套利定价所强调的原则是无套利，而不关心市场是否均衡。也就是说，如果衍生品的价格不等于无套利定价的结果，市场上就会出现套利机会。而市场均衡只是无套利的充分条件，并非必要条件，我们在进行无套利定价时并不关心标的资产的价格是如何产生的。

风险中性概率测度

由上节结果可知，衍生品定价与概率测度$\mathbb{P}$无关，即无论现实世界中标的资产涨跌概率是多少，都不会影响衍生品的价格。那么，我们便可以构造一个定价测度$\mathbb{Q}\sim\mathbb{P}$使得标的资产的期望收益率严格等于无风险收益率，这样的一个「公平」的概率测度，便是风险中性概率测度(Risk-neutral Probability Measure)。

沿用上节中对于两期模型的一系列假设，风险中性概率测度下的上涨概率$q$，满足如下条件：

$$qS_{1,1} (U) + (1-q)S_{1,1} (D) = e^{r\Delta t} S_{1,0}$$

或者：

$$q = \frac{e^{r\Delta t} S_{1,0} – S_{1,1} (D)}{S_{1,1} (U) – S_{1,1} (D)}$$

这就是风险中性世界的上涨概率。

在真实世界的概率测度$\mathbb{P}$中，标的资产在$t=0$时刻的期望收益率为：

$$\mathbb{E}^{\mathbb{P}} [\hat{S}_{1,1}] = p\hat{S}_{1,1} (U) + (1-p)\hat{S}_{1,1} (D)$$

而如果我们变化到风险中性概率测度$\mathbb{Q}$，标的资产的期望收益率将等于无风险收益率，这表明投资风险资产并不会取得任何高于或低于投资无风险资产的超额收益，这就是「风险中性」的定义。

同样地，在风险中性测度下，我们用

$$H_0 = q\frac{H(U)}{S_{0,1}} + (1-q)\frac{H(D)}{S_{0,1}} = q\hat{H} (U) + (1-q)\hat{H} (D)$$

所求得的衍生品价格也将与上节所求得的衍生品价格相等，读者可以通过计算证明这一点。这一论述是十分重要的，因为在无套利定价理论中，我们从未假设过真实世界中的标的资产是风险中性的，只是在无套利的假设下，对于真实世界中的标的资产，衍生品的价格与风险中性概率测度下的衍生品价格相同。

等价鞅测度

在上节结尾，我们证明了通过用风险中性概率测度等价替代真实世界概率测度，所求得的衍生品定价结果必然相同，却可以极大地简化计算过程。更一般地，对于两个概率测度$\mathbb{P}$和$\mathbb{Q}$，我们说$\mathbb{Q}$对于$\mathbb{P}$是绝对连续的(Absolutely Continuous)，当且仅当：

$$\left \{ \begin{align*} & \mathbb{P} (A)=0\Rightarrow \mathbb{Q} (A)=0 \\ & \mathbb{P} (A)=1\Rightarrow \mathbb{Q} (A)=1 \end{align*} \right.$$

记作$\mathbb{Q}\ll\mathbb{P}$。

而如果$\mathbb{Q}\ll\mathbb{P}且$\mathbb{P}\ll\mathbb{Q}同时成立，则称$\mathbb{Q}$和$\mathbb{P}$是等价的(Equivalent)，记作$\mathbb{Q}\sim\mathbb{P}$。

对于概率测度$\mathbb{P}$，我们说一个自适应过程${Mt}{t=0}^{T}$是一个$\mathbb{P}$鞅，如果它满足：

$$\forall t=0, 1, 2, \cdots, T : \mathbb{E}_t^{\mathbb{P}} [M_{t+1}] = \mathbb{E}^{\mathbb{P}} [M_{t+1} | \mathcal{F}_t] = M_t$$

回到衍生品定价的两期模型，我们所求的风险中性概率测度$\mathbb{Q}$和上涨概率$q$，实际上是把标的资产变成了一个鞅，或者说在风险中性概率测度$\mathbb{Q}$下，标的资产的价格具有鞅的性质，这便是所谓的等价鞅测度(Equivalent Martingale Probability Measure)。