引子

本系列文章记录我在金融工程(Financial Engineering)的学习心得，内容涵盖远期合约、期权等金融衍生品的定价模型。本文为该系列的引论，将简单介绍现代金融学中利息的计算方式、资产定价的基本原理、远期合约和期权的合约形式，并推导期权平价公式。

利率与折现

货币具有时间价值，今天的一块钱比明天的一块钱更值钱，我们把这一比例称为市场的无风险利率(Risk-free Interest Rate)。值得注意的是，无风险利率与信贷利率并非相同，前者是完全刨去违约风险和资金成本等因素的纯粹的货币价值变化的度量。现实中并不存在真正意义上的无风险资产，但我们可以找到无限接近于无风险资产的标的，如银行存款或国债，并将它们的收益率作为无风险利率的参照值。

假设市场的无风险利率为$r$，一年付息一次，那么对于现在的$S_0$，如果把它全部投资于无风险资产，一年后这笔钱会增加到$S_0 (1+r)$，但在假设下这笔钱的实际价值与现在的$S_0$完全相同。在金融学当中，为了明确这一概念，我们把现在的$S_0$元称为现值(Present Value, PV)，而把一年后的$S_0 (1+r)$称为未来价值(Future Value, FV)，它们在货币价值上完全等价。如果我们把这笔无风险投资持有两年，两年后它将增加到$S_0 (1+r)^2$，我们在计算第二年的利息时，要以第一年年末的$S_0 (1+r)$作为本金进行计算，这就是复利(Compound Interest)。

如果无风险资产在一年内付息两次，一年无风险利率仍然为$r$，则半年利率为$r/2$，我们可以在年中付息的时候把取得的利息再投资于无风险资产，则一年后这笔钱会增加到$S_0 (1+r/2)^2$。这里，我们把$r$称为名义利率(Nominal Interest Rate)，而把$(1+r/2)^2$称为实际利率(Real Interest Rate)。

类似地，如果无风险资产在一年内付息$n$次，那么对于无风险的名义利率$r$，实际利率为$(1+r/n)^n$，现在考虑它的极限情况，即每时每刻都结算上一刻的利息，即令$n\to\infty$，我们有：

$\lim_{m\to\infty} (1+r/n)^n = e^r$

这就是连续复利(Continuous Compound Interest)，在这种情况下，我们说名义利率为$r$等价于说实际利率为$e^r$。

在连续复利的情形下，如果我们在$t$时刻把一笔货币资金$S_0$投资于无风险资产并持有直到$T, T>t$时刻，等价于把这笔货币资金在$0$时刻投资于无风险资产并持有直到$T-t$时刻，则在到期之时，它将增加到$S_0 e^{(T-t)r}$，$e^{(T-t)r}$就是这段时间内的无风险收益率。

反之，如果我们要衡量未来的一笔钱相当于现在的多少钱，就要把它除以实际利率，这也就是折现(Discount)。所以，折现率(Discount Rate)是利率的倒数。

无套利定价与一价定律

在现代金融学中，我们不假思索地引用经济学理论中的理性人假设(The Hypothesis of Rational Man)，即追求自身利益最大化与风险最小化。此外，我们还假设理想的金融市场是无摩擦的(Frictionless)，即没有交易成本和其他阻碍交易的因素，这样一来市场的参与者可以毫无成本地在各种金融资产间交易。

在这些前提下，套利(Arbitrage)指的是市场参与者在不投入任何自有资金、不面临任何损失风险的条件下，却仍能在现在或未来取得正的现金流的一种行为。显然，在理性人假设下，当一个套利机会出现时，市场的参与者便会马上参与到套利行为当中来，直到消灭该套利机会，市场价格重新达到平衡状态为止。

于是，我们可以得出一价定律(The Law of One Price)：如果市场上不存在套利机会，那么对于两个完全提供相同现金流和终值的资产或组合，它们在任何时候都拥有相同的价格。

除了无市场摩擦、无套利定价和一价定律的假设，在现代金融学中，我们通常还采用如下假设：

允许卖空；
没有信用违约风险；
市场参与者可以以无风险利率借入或贷出任意数量的货币资金。

它们是现代金融学所采用的基础假设。

远期合约

一种最基础的金融衍生品是远期合约(Forward Contract)，它是买卖双方签订的在未来某一时间以约定的价格买入或卖出某种标的资产(Underlying Asset)的合同。

对于远期合约，它的基本参数有：到期时间$T$和执行价格(Strike Price)$K$。

倘若我们令$S_t$表示标的资产在$t$时刻的价格，则对于远期合约的买方，需要在到期日$T$以执行价格$K$买入标的资产，如果在买入后直接卖出标的资产，则可以获得$S_T - K$的现金流。

因此，为了对这样一份远期合约进行无套利定价，我们需要在到期日$T$同时持有一单位的标的资产和$-K$的现金，则在$t$时刻，该组合的价值为：

$V_t (T,K) = S_t - Ke^{-(T-t)r}$

这就是以$S$为标的资产，到期日为$T$，执行价格为$K$的远期合约在$t$时刻的价值。

远期合约的价格，是指签订合约时使远期合约价值为$0$的执行价格，一般记作$F_t (T)$，则有：

$V_t (T, F_t (T)) = S_t - F_t (T) e^{-(T-t)r} = 0$

解得$F_t (T) = S_t e^{(T-t)r}$。

这一答案是十分直观的。在风险中性世界中，它恰好等于在$t$时刻以$S_t$的价格购入标的资产所需的货币资金，按无风险利率支付利息，在到期日$T$的未来价值。

分红

如果标的资产$S$在$\theta, t<\theta <T$时刻分红$\delta$，则在$t$时刻，该组合的价值为：

$V_t (T;K) = S_t - \delta e^{-(\theta - t)r} - Ke^{-(T-t)r}$

在直观角度来理解，如果标的资产在远期合约签订后分红，远期合约的价格会低于不分红的价格，这是因为远期合约的卖方，在签订合约后、执行合约前的分红日$\theta$会额外收到一笔$\delta$的分红，且该分红来自于标的资产本身。

同样地，我们可以用

$V_t (T; F_t (T)) = S_t - \delta e^{-(\theta - t)r} - F_t (T)e^{-(T-t)r} = 0$

求解出远期合约的价格，为：

$F_t (T) = S_t e^{(T-t)r} - \delta e^{(T-\theta)r}$

期权

期权(Option)是与远期合约类似的另一种重要的金融衍生品，它是买方在未来某一时间以约定的价格向卖方买入或卖出某种标的资产的权利。

期权与远期合约的一个重要区别是，远期合约的买卖双方地位平等，任何一方无权单方面终止合约；而期权买方有权利选择是否在到期日买入或卖出标的资产，卖方在买方行权时无权拒绝。

对于看涨期权的买方，可以在到期日选择是否在到期日$T$以执行价格$K$买入标的资产，所以只有在到期日标的资产的价格$S_T > K$时，买方才会选择行权。

如果令$(X)^+ = \max (X,0)$，则看涨期权的到期收益为$(S_T - K)^+$，而看跌期权的收益则为$(K – S_T)^+$。作为一个投资组合，如果我们同时买入看涨期权并卖出看跌期权，那么无论如何，该组合的到期收益始终为$S_T - K$。

要复制这一投资组合的现金流，我们需要在期权到期日同时持有一单位的标的资产$S_T$和$-K$的货币资金。因此，我们可以得到所谓的期权平价公式(Put-Call Parity)：

$C(K,T) – P(K,T) = S_t – Ke^{-(T-t)r}$

与远期合约类似的，若标的资产在到期前分红，例如在$\theta, t<\theta <T$时刻分红$\delta$，则期权平价公式变为：

$C(K,T) - P(K,T) = S_t - Ke^{-(T-t)r} - \delta e^{-(T-\delta)r}$