数术杂编(三)：一个利用留数定理计算有理函数反常积分的范例

本文基于以下两个例子，讨论一种利用留数定理计算有理函数反常积分的方法：

$$I_1 = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x^4 + x^3 + x^2 + x + 1} dx$$ $$I_2 = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^4 + x^3 + x^2 + x + 1} dx$$

容易证明上面两个积分都是良定义且收敛的，下面我将利用留数定理计算它们。

对于$I_1$，其解法是直接讨论被积函数本身，令：

$$f(z) = \frac{1}{z^4 + z^3 + z^2 + z + 1} = \frac{z-1}{z^5-1}$$

则：

$$\begin{align*} I_1 & = 2\pi i \Res_{z = e^{2\pi i / 5}} f(z) + 2\pi i \Res_{z = e^{4\pi i / 5}} f(z) \\ & = 2\pi i \left( \frac{e^{2\pi i / 5} - 1}{5e^{8\pi i / 5}} + \frac{e^{4\pi i / 5} - 1}{5e^{16\pi i / 5}} \right) \\ & = \frac{2\pi i}{5}\left( e^{4\pi i / 5} - e^{2\pi i / 5} + e^{-2\pi i / 5} - e^{4\pi i / 5}\right) \\ & = \frac{4\pi}{5}\sin\left(\frac{2\pi}{5}\right) \\ & = \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{5}\pi \end{align*}$$

$I_2$与$I_1$的区别在于积分区间缩小为正半轴，且被积函数是非奇非偶的，因此无法直接通过$I_1$的值算得。对于此类积分，其计算方法通常是令$g(z) = f(z)\log z$，沿正实轴割开平面，并简单地约定在支割线上方有$\arg z = 0$，则：

$$\begin{align*} I_2 & = 2\pi i\sum_{k=1}^{4} \Res_{z = e^{2k\pi i/5}} g(z) \\ & = -\sum_{k=1}^{4} \frac{2k\pi i}{5}\frac{e^{2k\pi i/5}}{5e^{8k\pi i/5}} \\ & = -\frac{2\pi i}{25}\left(e^{4\pi i/5} - e^{2\pi i/5}\right) -\frac{4\pi i}{25}\left(e^{-2\pi i/5} - e^{4\pi i/5}\right) -\frac{6\pi i}{25}\left(e^{2\pi i/5} - e^{-4\pi i/5}\right) -\frac{8\pi i}{25}\left(e^{-4\pi i/5} - e^{-2\pi i/5}\right) \\ & = \frac{2\pi i}{25}\left(e^{4\pi i/5} - e^{-4\pi i/5}\right) - \frac{4\pi i}{25}\left(e^{2\pi i/5} - e^{-2\pi i/5}\right) \\ & = \frac{4\pi}{25}\left[2\sin\left(\frac{2\pi}{5}\right) - \sin\left(\frac{4\pi}{5}\right)\right] \\ & = \frac{\sqrt{50-10\sqrt{5}}}{25}\pi \end{align*}$$

注：上述第二个积分在复平面上的积分路径为从$\infty$出发沿正实轴上沿，再沿一个半径任意小的圆逆时针绕过原点，最后沿正实轴上沿回到$\infty$。由于正实轴上下沿上的辐角相差$2\pi i$，因此，所求积分事实上是$2\pi i I_2$，故在应用留数定理时直接约去了等式两边的$2\pi i$。