数术杂编(二)：一个与三角函数有关的积分的改良

今晚在无意间发现并解决了一个很有意思且颇有难度的定积分题目，事情的起因源于笔者对如下这个简单的定积分的改良：

$$\int_{0}^{\pi} \frac{x\sin x}{1+\cos^2 x} dx$$

这个积分可以通过区间再现公式的一个推论解决，即如下一般性的结论：

$$\int_{0}^{\pi} xf(\sin x) dx = \frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi} f(\sin x) dx$$

利用上述性质，我们可以简单地解决上面的定积分，具体的计算过程如下：

$$\begin{align*} \int_{0}^{\pi} \frac{x\sin x}{1+\cos^2 x} dx & = \frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx \\ & = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx \\ & = \frac{\pi}{2} \int_{-1}^{1} \frac{dx}{1+x^2} \\ & = \frac{\pi}{2} [\arctan x]_{-1}^{1} \\ & = \frac{\pi}{2} \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}\right) \\ & = \frac{\pi^2}{4} \end{align*}$$

我于是又突发奇想道，倘若把积分上限的$\pi$改为$\tfrac{\pi}{2}$又会发生什么呢？即考虑下面的定积分：

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x\sin x}{1+\cos^2 x} dx$$

在经过一番无果的尝试后，我开始怀疑这个积分是否具有解析解，于是决定把它喂给Wolfram Alpha。又经过了一番漫长的等待，就在我准备盖棺定论地认为该积分并没有解析解时，Wolfram Alpha竟意外地给出了答案：

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x\sin x}{1+\cos^2 x} dx = -\frac{1}{2}\log^2 (1+\sqrt{2}) + \frac{\pi^2}{8}$$

这表明我最初的判断是错误的，但Wolfram Alpha只给出了结果，并没有给出具体的计算过程，这勾起了强烈的好奇心。由于积分区间发生了变化，区间再现公式已经不再适用，各种各样的换元法也无法带来实质性的进展，我的求解过程只得再度陷入了停滞。

尽管如此，在通过在各种角度对结果中两个项的观察后，我还是通过无穷级数的手段解决了它，解的第一步也是关键利用了著名Wallis积分。我将具体的计算过程贴在下面：

$$\begin{align*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x\sin x}{1+\cos^2 x} dx & = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x\sin x\cos^{2n} x dx \\ & = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!(2n+1)} \\ & = \int_{0}^{1} \frac{\arcsinh x}{x\sqrt{1+x^2}} dx \\ & = \left. -\arcsinh x\arcsinh\left(\frac{1}{x}\right)\right|_0^1 + \int_{1}^{\infty} \frac{\arcsinh x}{x\sqrt{1+x^2}} dx \\ & = -\frac{1}{2}\arcsin^2 1 + \frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} \frac{\arcsinh x}{x\sqrt{1+x^2}} dx \\ & = -\frac{1}{2}\arcsin^2 1 + \frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} \frac{x}{\sinh x} dx \\ & = -\frac{1}{2}\arcsin^2 1 + \frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} \frac{xe^{-x}}{1+e^{-2x}} dx \\ & = -\frac{1}{2}\arcsin^2 1 + \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \int_{0}^{\infty} xe^{-(2n+1)x} dx \\ & = -\frac{1}{2}\arcsin^2 1 + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)^2} \\ & = -\frac{1}{2}\log^2 (1+\sqrt{2}) + \frac{\pi^2}{8} \end{align*}$$

至此便又解决了一个颇具挑战性的定积分，这大概也是作为一个积佬的乐趣所在吧。