数术杂编(一)：一类交错级数的解法

引子

本系列收录笔者在日常中遇到的一些比较有意思的数学题目，它们一般是一些难度较高或比较巧妙的积分或级数。

在数学分析中，所谓莱布尼茨级数(也被称为交错级数, Alternating Series)一般是指所有项的符号为正负交替出现的一类级数。本文将以下面的级数为例，讨论一类分母为一次多项式的莱布尼茨级数的解析解求法。

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3n+1} = \frac{\pi}{3\sqrt{3}} + \frac{1}{3}\log 2$$

【解】

考虑函数：

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3n+1} x^{3n+1}$$

求导得：

$$f'(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{3n} = \frac{1}{1+x^3}$$

故：

$$f(x) = \int_{0}^{x} \frac{dt}{1+t^3}$$

因此：

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3n+1} = f(1) = \int_{0}^{1} \frac{dt}{1+t^3} = \frac{\pi}{3\sqrt{3}} + \frac{1}{3}\log 2$$

对于以下更一般的情形(容易证明它是收敛的)：

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{an+b}, a,b>0$$

可以写：

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{an+b} x^{an+b}$$

求导得：

$$f'(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{an+b-1} = \frac{x^{b-1}}{1+x^a}$$

因此：

$$f(x) = \int_{0}^{x} \frac{t^{b-1}}{1+t^a} dt$$

则所求级数即为：

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{an+b} = f(1) = \int_{0}^{1} \frac{t^{b-1}}{1+t^a} dt$$

通过这样的方法，我们可以把该类莱布尼茨级数化为定积分的形式，再通过对定积分的计算即可得到对应莱布尼茨级数的值。