这是博弈论中一个相当经典的游戏，它能为生活中的许多场景提供参照。问题的描述如下：
当你走在大街上时，有一位陌生美女上前与你搭讪，并邀请你与她玩一个硬币游戏。她说：“我们同时亮出一枚硬币的一面，或正或反。若我们亮出的都是正面，我给你$3$元；若我们亮出的都是反面，我给你$1$元；若我们亮出的不是同一面，你给我$2$元。”
那么你该不该和美女玩这个硬币游戏呢？或者说，这个游戏是公平的吗？
我们可以用一张表格简明地表示这个游戏中可能出现的各种情况，以及每种情况发生时你的盈亏，这是博弈论中相当常见的支付矩阵(Payoff Matrix)。
| 美女，你 | 正 | 反 |
|---|---|---|
| 正 | 3 | -2 |
| 反 | -2 | 1 |
通过上面的表格，我们可以发现，游戏总共有4种可能发生的情况。更进一步地说，如果每种情况发生的概率相等，都是$\frac{1}{4}$，那么通过概率论的知识可以算出你的收益期望值：
这么看来，游戏似乎是公平的，长期看来，你的收益是$0$元，不赚也不亏。
但是事实真的是如此吗？或者说，每种情况发生的概率真的相等吗？
在这个游戏中，我们之所以会不假思索地认为每种情况发生的概率相等，是由于各种“抛硬币游戏”带来的思维定势。但在这个例子中，双方做的并不是“各自抛一枚硬币”，而是“各自亮出一枚硬币”。换句话说，每种情况发生的概率，取决于双方的决策。
更进一步地说，双方都可以以一定的概率选择亮出硬币的正面或反面。在这里，我们假设美女亮出正面的概率为$p$，你亮出正面的概率为$q$。此时，你的收益期望值变为：
显然，当$p,q$在$0$到$1$之间任意取值时，你的收益期望值并不一定是$0$。
另一方面，我们可以发现这场游戏的本质是“零和博弈(Zero-sum Game)”，换言之，美女赢的钱就是你输的钱，你赢的钱就是美女输的钱。数学上，如果你的收益期望值是$E$，那么美女的收益期望值就是$-E$。
那么如果我们站在美女的角度来考虑问题，如果她有一种策略可以令$E<0$，则在长期看来她便可以赢走你的钱，即：
这也就是说
我们首先讨论$8p-3>0$的情况，此时上式意味着：
上式右边的$f(q) = \frac{3q-1}{8q-3}$的图像如下图所示：
我们发现，它在区间$\frac{3}{8}<q<1$上是递减的，而$f(1)=\frac{2}{5}$。这意味着当$p<\frac{2}{5}$时，不等式成立。
而当$8q-3<0$时，不等式等价于
由于$f(q) = \frac{3q-1}{8q-3}$在区间$0 < q < \frac{3}{8}$上是递减的，而$f(0)=\frac{1}{3}$。这意味着当$p>\frac{1}{3}$时，上式成立。
最后，当$8q-3=0$时，我们发现：
换句话说，此时无论美女的如何，你的收益期望值都是$\frac{1}{8}$。
综上所述，当美女选择的策略为$\frac{1}{3}<p<\frac{2}{5}$时，无论你的策略如何，长期来看美女都能赢走你的钱。换句话说，美女在该游戏中是有必胜策略(Winning Strategy)的。
反过来说，你在该游戏中没有必胜策略。为了论证这一点，不妨反过来站在你的角度来考虑问题，如果你要使收益最大化，即无论美女选择的策略$p$如何，你都不能让美女有机可乘。在这种情况下，无论美女亮出正面还是反面，你的收益期望值相等。这是因为，若二者不相等，美女就可以通过改变概率$p$，来调整正面或反面出现的次数，降低你的收益期望值，此时你就无法做到“收益最大化”。
在这一思路下，当美女亮出硬币正面时，你的收益期望值为：
当美女亮出硬币反面时，你的收益期望值为：
由上述分析，再令$E_F=E_B$，可以解得$p=\frac{3}{8}$。而这个最大化的收益期望值，恰恰就是上文中计算过的：
这也就是说，即使你采取最优策略，长期来看，平均每局也要亏$-\frac{1}{8}$元钱。而如上文所述，美女其实是有必胜策略的。
事实上，以上情况也就是该游戏的混合策略纳什均衡(Mixed Strategy Nash Equilibrium, MSNE)，即双方都考虑自己的收益最大化的情况下，就有$E=-\frac{1}{8}$。
美女的硬币游戏，是博弈论中相当经典的模型之一，它十分清晰地表明了在不完全信息博弈中，掌握规则的制定权是多么重要，而生活中在那些我们习以为常的表面公平的规则背后，往往也暗藏着剥削与不公。
