引子

本系列文章记录我在金融工程(Financial Engineering)的学习心得，内容涵盖远期合约、期权等金融衍生品的定价模型。本文为该系列的引论，将简单介绍现代金融学中利息的计算方式、资产定价的基本原理、远期合约和期权的合约形式，并推导期权平价公式。

引子

假设某银行有许多储户，他们账户上的存款余额不等。如果这些储户来自于一个财富水平随机且服从均匀分布的大样本，则从他们存款余额的所有数据中随机选取一个，该数据以数$1$为首位的概率是多少？

面对这个问题，大部分人可能会不假思索地回答$1/9$，因为这些数据来自于一个随即且均匀的样本，那么从$1$到$9$，以这些数为首位的概率是相等的，为$1/9$。

但事实上，大量从真实数据集观察到的结果却与这一看似理所当然的推测大相径庭，以数$1$为首位的数据出现的频率要比其他数字大得多，这一比例甚至超过了30%，而以数$9$为首位的数据出现的频率则只有5%不到。

这表明，自然数数据集首位数字出现概率的真实分布其实并不如我们想当然的那样。在数学中，这一现象有一个专门的名称——它被人们称为本福特定律(Benford’s Law)。

$$\begin{align*} I_1 & = \int_0^\infty \frac{1-\cos x}{x(1-e^x)} dx = \frac{1}{2}\log\left(\frac{\pi}{\sinh\pi}\right) \\ I_2 & = \int_0^\infty \frac{1 - \cos x}{x(1+e^x)} dx = \frac{1}{2}\log\left(\frac{\pi}{2}\coth\frac{\pi}{2}\right) \end{align*}$$

引言

自古以来，山、医、命、相、卜合称五术，是中国传统文化的重要组成部分之一，在《庄子·杂篇·天下》中，被认为是“无所不在”。命理学即为五术中的“命”，指通过数理推衍的方式来测算命运，趋吉避凶的一类道术。在中华文明漫长的发展历程中，曾涌现过多种算命术，其中又以八字算命术和紫微斗数最广为人知。在本系列文章中，笔者将以历史渊源、发展历程、哲学基础、排盘方式、案例分析等方式，系统地梳理此二者的诸多方面，供自己和他人查阅方便。由于笔者才识尚浅，行文过程中难免有所疏漏，如能得到心读者的拨冗斧正，笔者将不胜感激。

引言

这是博弈论当中一个非常经典的游戏，由耶鲁大学经济学家马丁·舒比克(Martin Schubik)于1971年提出。游戏的规则是一群参与者拍卖一张普通的面值1美元的钞票，每次的加价幅度都为5美分的倍数，其条件是出价最高者和出价次高者都必须支付各自的最高出价，出价最高者获得拍品而出价次高者则什么也得不到。

例如A出价40美分，而B出价50美分，此时由B以50美分的价格买下这件拍品，而A必须支付40美分却什么也得不到。

引言

红眼睛悖论最早出自华人数学家陶哲轩(Terence Tao)设计的一个巧妙的思维实验：

• 某岛上有100个聪明人；
• 这100个人中，有95个人拥有红色的眼睛，5个人拥有蓝色的眼睛；
• 每个人可以观察别人眼睛的颜色，但是禁止照镜子观察自己眼睛的颜色；
• 禁止互相讨论或告知别人对方眼睛的颜色；
• 如果一个人知道了自己的眼睛是红色的，则他必须在第二天公开自杀。

在故事开始时，有一个外来者登上岛屿后，通过公开宣布告知了岛上所有人：「这个岛上有红眼睛的人。」5天后，这5个拥有红眼睛的人不约而同地公开自杀了。

以上就是这则思维实验的全部内容。

椭圆积分是数论和代数几何中一个十分重要的范畴，近代的模形式理论更是涉及了许多对椭圆积分的性质的研究。在研究过程中，一些学者注意到，椭圆积分在某些特殊点处的函数值可以通过Gamma函数解析地表达出来，这些值统称为椭圆积分奇异值(Singular Values of Elliptical Integral)，是代数数论的一个重要课题。

而在狭义上，椭圆积分奇异值则是指满足下式的值$K(k_n)$和$K’(k_n)$：

$$K(k_n) = \sqrt{n}K'(k_n), n\in\mathbb{Z}^+$$

在本文中，我将采用初等方法计算前几个椭圆积分奇异值，这主要是通过利用积分换元法将椭圆积分变成Beta函数来实现的。

引子

对于一般的单变量定积分，常用的求解方法是利用换元积分法和分部积分法找到被积函数的原函数，然后再按照牛顿-莱布尼茨公式计算定积分的值。然而，对于一些特殊的定积分，被积函数的原函数并不一定是初等的，此时牛顿-莱布尼茨公式就不再奏效了，若要计算这类定积分的值，我们就需要借助一些其他的技巧，费曼积分法(Feynman’s Trick)就是一个十分重要的解法。

简单地说，费曼积分法的基本思路是在被积函数中引入一个新的参变量，使得原本的定积分成为该参变量的一个函数，再注意到：

$$\frac{d}{dt} \int_a^b f(x,t) dx = \int_a^b \frac{\partial f(x,t)}{\partial t} dx$$

从而我们可以通过对新的含参积分进行积分号下求导，得到该含参积分的导数，再通过求原函数的方法确定含参积分的解析式，最后代入特定的参数值求出原定积分的值。

引子

在美国，买卖资产如果赚钱了要交税，也就是常说的资本利得税(Capital Gains Tax, CGT)。资本利得税在美国是一种十分重要的税种，你所买卖的资产，不管是邮票，还是汽车；不管是房产，还是股票，只要通过买卖某宗资产赚钱了，就需要缴纳资本利得税。

本文基于以下两个例子，讨论一种利用留数定理计算有理函数反常积分的方法：

$$I_1 = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x^4 + x^3 + x^2 + x + 1} dx$$ $$I_2 = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^4 + x^3 + x^2 + x + 1} dx$$

容易证明上面两个积分都是良定义且收敛的，下面我将利用留数定理计算它们。