椭圆积分是数论和代数几何中一个十分重要的范畴,近代的模形式理论更是涉及了许多对椭圆积分的性质的研究。在研究过程中,一些学者注意到,椭圆积分在某些特殊点处的函数值可以通过Gamma函数解析地表达出来,这些值统称为椭圆积分奇异值(Singular Values of Elliptical Integral),是代数数论的一个重要课题。
而在狭义上,椭圆积分奇异值则是指满足下式的值$K(k_n)$和$K’(k_n)$:
在本文中,我将采用初等方法计算前几个椭圆积分奇异值,这主要是通过利用积分换元法将椭圆积分变成Beta函数来实现的。